Arbeitsblatt: Unterschiedshypothesentests

Statistik 1

1 Aufgabe

Ein Onlinehändler garantiert eine mittlere Lieferzeit von 48 Stunden. Frühere Prozessanalysen zeigen, dass die Lieferzeiten normalverteilt sind und eine bekannte Standardabweichung von \(\sigma = 6\) Stunden aufweisen.

In einer Qualitätskontrolle werden 100 Bestellungen zufällig ausgewählt. Die gemessene durchschnittliche Lieferzeit beträgt \(\bar x = 49.5\) Stunden.

Fragestellung:
Weicht die mittlere Lieferzeit auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 5\%\) signifikant vom Sollwert ab? Testen Sie ungerichtet.

Solution. Hypothesen
\(H_0: \mu = 48\)
\(H_1: \mu \neq 48\)

Standardfehler
\(SE = \sigma / \sqrt{n} = 6 / \sqrt{100} = 0.6\)

Teststatistik
\(z = (49.5 - 48) / 0.6 = 2.50\)

Kritischer Wert
\(z_{krit} = \pm 1.96\)

Entscheidung
\(|z| > 1.96 \Rightarrow H_0\) verwerfen.
Die Lieferzeit weicht signifikant vom Sollwert ab.

---

2 Aufgabe

In einer Studie der Wirtschaftspsychologie wird die wahrgenommene Arbeitsautonomie (Skala 1–7) untersucht. Der theoretische Neutralwert der Skala beträgt \(\mu_0 = 4\).

Eine Stichprobe von \(n = 32\) Beschäftigten ergibt: \(\bar x = 4.5\), \(s = 0.8\)

Fragestellung:
Unterscheidet sich die mittlere Arbeitsautonomie signifikant vom Neutralwert? Testen Sie zweiseitig mit \(\alpha = 5\%\).

Solution. Hypothesen
\(H_0: \mu = 4\)
\(H_1: \mu \neq 4\)

Standardfehler
\(SE = 0.8 / \sqrt{32} \approx 0.141\)

Teststatistik
\(t = (4.5 - 4) / 0.141 \approx 3.55\)

Kritischer Wert
\(t_{krit}(df=31) \approx \pm 2.04\)

Entscheidung
\(|t| > t_{krit} \Rightarrow H_0\) verwerfen.
Die Arbeitsautonomie ist signifikant erhöht.

---

3 Aufgabe

Zwei Versionen einer Lern-App werden verglichen.

• Version A: \(n_1 = 24\), \(\bar x_1 = 68\), \(s_1 = 10\)
  
• Version B: \(n_2 = 26\), \(\bar x_2 = 74\), \(s_2 = 9\)

Die Testleistungen gelten als normalverteilt, Varianzhomogenität kann angenommen werden.

Fragestellung:
Unterscheiden sich die mittleren Testergebnisse signifikant? Testen Sie ungerichtet mit \(\alpha = 5\%\).

Solution. Hypothesen
\(H_0: \mu_1 = \mu_2\)
\(H_1: \mu_1 \neq \mu_2\)

Gepoolte SD
\(s_p = \sqrt{\frac{(23\cdot10^2)+(25\cdot9^2)}{48}} \approx 9.48\)

Standardfehler
\(SE = s_p \sqrt{1/24 + 1/26} \approx 2.70\)

Teststatistik
\(t = (68 - 74)/2.70 \approx -2.22\)

Kritischer Wert
\(t_{krit}(df=48) \approx \pm 2.01\)

Entscheidung
\(|t| > t_{krit} \Rightarrow H_0\) verwerfen.
Die App-Versionen unterscheiden sich signifikant.

---

4 Aufgabe

In einem Unternehmen wird ein Feedback-Training evaluiert. Die wahrgenommene Feedbackqualität (Skala 1–10) wird vor und nach dem Training bei 8 Führungskräften erhoben.

Person	Vorher	Nachher
1	5	7
2	6	8
3	4	6
4	5	6
5	6	8
6	5	7
7	4	6
8	5	7

Fragestellung:
Verbessert das Training die Feedbackqualität signifikant? Testen Sie gerichtet mit \(\alpha = 5\%\).

Solution. Hypothesen
\(H_0: \mu_d = 0\)
\(H_1: \mu_d > 0\)

Differenzen
2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2

\(\bar d = 1.875\), \(s_d \approx 0.35\)

Standardfehler
\(SE = 0.35 / \sqrt{8} \approx 0.12\)

Teststatistik
\(t = 1.875 / 0.12 \approx 15.6\)

Kritischer Wert
\(t_{krit}(df=7) = 1.895\)

Entscheidung
\(t > t_{krit} \Rightarrow H_0\) verwerfen.
Das Training verbessert die Feedbackqualität signifikant.