Hinweise zur Bearbeitung
- Bearbeiten Sie die Aufgaben zuerst mit Stift und Papier (eine Tabelle der z-Werte finden Sie auf iLearn).
- Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit Hilfe von R.
- Verwenden Sie für Wahrscheinlichkeiten der (Standard‑)Normalverteilung
pnorm(), für Quantile qnorm().
- z‑Werte lassen sich mit
scale(x) (zentriert/standardisiert) oder manuell via (x - mean(x))/sd(x) berechnen.
- Für Bereiche wie \(P(a \le X \le b)\) gilt:
pnorm(b, mu, sigma) - pnorm(a, mu, sigma).
Aufgabe
Gegeben sind die Werte: 13; 28; 26; 19; 15; 16.
- Ermitteln Sie Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
- Überführen Sie die Werte in z‑Werte.
- Ermitteln Sie Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung der transformierten Werte.
Aufgabe
Welche Merkmale sind nötig, um eine Normalverteilung vollständig zu beschreiben?
Aufgabe
Wie viel Prozent der Fälle liegen in dem Bereich Mittelwert \(\pm 1{,}5\) Standardabweichungen?
Aufgabe
Von einem Intelligenztest weiß man, dass er normalverteilt ist: \(\mu=100\) (Punkte), \(\sigma=15\).
In einem Auswahlverfahren werden nur Bewerber akzeptiert, die zu den intelligentesten \(10\%\) gehören.
Bei welcher Punktezahl liegt die Schranke des Tests?
Aufgabe
Zwischen welchen Werten der Standardnormalverteilung liegen symmetrisch um den Mittelwert \(80\%\) der Werte?
Aufgabe
Ein Patient erhält bei einem Leistungstest (normalverteilt \(\mu=20\), \(\sigma^2=25\)) den Testwert \(12\).
Welches Ergebnis würde er theoretisch in einem anderen Test mit \(\mu=0\), \(\sigma^2=100\) erreichen?
Aufgabe
Angenommen, die Leistung bei einem Test zur Studienzulassung ist normalverteilt um den Mittelwert \(600\) mit der Varianz \(2500\).
- Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis von mehr als 700 Punkten?
- Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis von weniger als 500 Punkten?
- Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis zwischen 500 und 600 Punkten?
- Prüfling X möchte zu den besten \(10\%\) gehören. Welches Testergebnis muss er dazu erzielen?
Aufgabe
Das Merkmal Körpergröße ist normalverteilt. Die durchschnittliche Körpergröße von Männern bis etwa 40 Jahre ist \(180\,\text{cm}\) (\(\sigma=8\,\text{cm}\)).
- Dirk Nowitzki ist \(213\,\text{cm}\) groß. Wie viele Prozent aller Männer dieser Altersgruppe sind größer als er?
- Wie viele Prozent der Männer dieser Altersgruppe sind zwischen 180 und 190 cm groß?
- In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen die Größen von 50% aller Männer dieser Altersgruppe?
Aufgabe
Herr Schulz hat in Hessen studiert und eine Examensnote von \(1{,}6\); Frau Huber hat in Bayern studiert und eine Examensnote von \(1{,}1\).
In Hessen wie in Bayern sind die Abschlussnoten normalverteilt. In Hessen mit \(\mu=2{,}5\) und \(\sigma=0{,}5\). In Bayern mit \(\mu=1{,}7\) und \(\sigma=0{,}3\).
Bezogen auf die jeweilige Referenzgruppe: Wer hat den besseren Abschluss? (kleinere Note = besser)
Aufgabe
Jodie Foster hat angeblich einen IQ von \(132\). IQs sind normalverteilt mit \(\mu=100\) und \(\sigma=15\).
Auch die Größe von amerikanischen Frauen ist normalverteilt: \(\mu=165\,\text{cm}\) und \(\sigma=10\,\text{cm}\).
Wenn Jodie Foster so groß wäre, wie sie intelligent ist, wie groß wäre sie dann?
Aufgabe
Für einen Online‑Bestellvorgang wissen wir, dass er im Schnitt \(10\,\text{s}\) dauert (\(\sigma=2\,\text{s}\)).
Eine Änderung der Benutzerführung (kurz „neue Seite“) soll diese Zeit verringern. Eine Stichprobe von \(n=100\) Probanden weist eine mittlere Bearbeitungszeit von \(\bar x=8\,\text{s}\) und die Standardabweichung \(s=2\,\text{s}\) auf.
- Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig ausgewählter Bestellvorgang mit der alten Seite in \(8\,\text{s}\) oder schneller erledigt wird?
- Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Bearbeitungszeit mit der neuen Seite.
- Wie groß müsste \(\bar x\) sein, damit der Mittelwert der alten Seite genau am Rand des 95%-Konfidenzintervalls liegt?
SNV
Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte
| 0 |
0.50000 |
0.49601 |
0.49202 |
0.48803 |
0.48405 |
0.48006 |
0.47608 |
0.47210 |
0.46812 |
0.46414 |
| -0.1 |
0.46017 |
0.45620 |
0.45224 |
0.44828 |
0.44433 |
0.44038 |
0.43644 |
0.43251 |
0.42858 |
0.42465 |
| -0.2 |
0.42074 |
0.41683 |
0.41294 |
0.40905 |
0.40517 |
0.40129 |
0.39743 |
0.39358 |
0.38974 |
0.38591 |
| -0.3 |
0.38209 |
0.37828 |
0.37448 |
0.37070 |
0.36693 |
0.36317 |
0.35942 |
0.35569 |
0.35197 |
0.34827 |
| -0.4 |
0.34458 |
0.34090 |
0.33724 |
0.33360 |
0.32997 |
0.32636 |
0.32276 |
0.31918 |
0.31561 |
0.31207 |
| -0.5 |
0.30854 |
0.30503 |
0.30153 |
0.29806 |
0.29460 |
0.29116 |
0.28774 |
0.28434 |
0.28096 |
0.27760 |
| -0.6 |
0.27425 |
0.27093 |
0.26763 |
0.26435 |
0.26109 |
0.25785 |
0.25463 |
0.25143 |
0.24825 |
0.24510 |
| -0.7 |
0.24196 |
0.23885 |
0.23576 |
0.23270 |
0.22965 |
0.22663 |
0.22363 |
0.22065 |
0.21770 |
0.21476 |
| -0.8 |
0.21186 |
0.20897 |
0.20611 |
0.20327 |
0.20045 |
0.19766 |
0.19489 |
0.19215 |
0.18943 |
0.18673 |
| -0.9 |
0.18406 |
0.18141 |
0.17879 |
0.17619 |
0.17361 |
0.17106 |
0.16853 |
0.16602 |
0.16354 |
0.16109 |
| -1 |
0.15866 |
0.15625 |
0.15386 |
0.15151 |
0.14917 |
0.14686 |
0.14457 |
0.14231 |
0.14007 |
0.13786 |
| -1.1 |
0.13567 |
0.13350 |
0.13136 |
0.12924 |
0.12714 |
0.12507 |
0.12302 |
0.12100 |
0.11900 |
0.11702 |
| -1.2 |
0.11507 |
0.11314 |
0.11123 |
0.10935 |
0.10749 |
0.10565 |
0.10383 |
0.10204 |
0.10027 |
0.09853 |
| -1.3 |
0.09680 |
0.09510 |
0.09342 |
0.09176 |
0.09012 |
0.08851 |
0.08691 |
0.08534 |
0.08379 |
0.08226 |
| -1.4 |
0.08076 |
0.07927 |
0.07780 |
0.07636 |
0.07493 |
0.07353 |
0.07215 |
0.07078 |
0.06944 |
0.06811 |
| -1.5 |
0.06681 |
0.06552 |
0.06426 |
0.06301 |
0.06178 |
0.06057 |
0.05938 |
0.05821 |
0.05705 |
0.05592 |
| -1.6 |
0.05480 |
0.05370 |
0.05262 |
0.05155 |
0.05050 |
0.04947 |
0.04846 |
0.04746 |
0.04648 |
0.04551 |
| -1.7 |
0.04457 |
0.04363 |
0.04272 |
0.04182 |
0.04093 |
0.04006 |
0.03920 |
0.03836 |
0.03754 |
0.03673 |
| -1.8 |
0.03593 |
0.03515 |
0.03438 |
0.03362 |
0.03288 |
0.03216 |
0.03144 |
0.03074 |
0.03005 |
0.02938 |
| -1.9 |
0.02872 |
0.02807 |
0.02743 |
0.02680 |
0.02619 |
0.02559 |
0.02500 |
0.02442 |
0.02385 |
0.02330 |
| -2 |
0.02275 |
0.02222 |
0.02169 |
0.02118 |
0.02068 |
0.02018 |
0.01970 |
0.01923 |
0.01876 |
0.01831 |
| -2.1 |
0.01786 |
0.01743 |
0.01700 |
0.01659 |
0.01618 |
0.01578 |
0.01539 |
0.01500 |
0.01463 |
0.01426 |
| -2.2 |
0.01390 |
0.01355 |
0.01321 |
0.01287 |
0.01255 |
0.01222 |
0.01191 |
0.01160 |
0.01130 |
0.01101 |
| -2.3 |
0.01072 |
0.01044 |
0.01017 |
0.00990 |
0.00964 |
0.00939 |
0.00914 |
0.00889 |
0.00866 |
0.00842 |
| -2.4 |
0.00820 |
0.00798 |
0.00776 |
0.00755 |
0.00734 |
0.00714 |
0.00695 |
0.00676 |
0.00657 |
0.00639 |
| -2.5 |
0.00621 |
0.00604 |
0.00587 |
0.00570 |
0.00554 |
0.00539 |
0.00523 |
0.00508 |
0.00494 |
0.00480 |
| -2.6 |
0.00466 |
0.00453 |
0.00440 |
0.00427 |
0.00415 |
0.00402 |
0.00391 |
0.00379 |
0.00368 |
0.00357 |
| -2.7 |
0.00347 |
0.00336 |
0.00326 |
0.00317 |
0.00307 |
0.00298 |
0.00289 |
0.00280 |
0.00272 |
0.00264 |
| -2.8 |
0.00256 |
0.00248 |
0.00240 |
0.00233 |
0.00226 |
0.00219 |
0.00212 |
0.00205 |
0.00199 |
0.00193 |
| -2.9 |
0.00187 |
0.00181 |
0.00175 |
0.00169 |
0.00164 |
0.00159 |
0.00154 |
0.00149 |
0.00144 |
0.00139 |
| -3 |
0.00135 |
0.00131 |
0.00126 |
0.00122 |
0.00118 |
0.00114 |
0.00111 |
0.00107 |
0.00104 |
0.00100 |
| -3.1 |
0.00097 |
0.00094 |
0.00090 |
0.00087 |
0.00084 |
0.00082 |
0.00079 |
0.00076 |
0.00074 |
0.00071 |
| -3.2 |
0.00069 |
0.00066 |
0.00064 |
0.00062 |
0.00060 |
0.00058 |
0.00056 |
0.00054 |
0.00052 |
0.00050 |
| -3.3 |
0.00048 |
0.00047 |
0.00045 |
0.00043 |
0.00042 |
0.00040 |
0.00039 |
0.00038 |
0.00036 |
0.00035 |
| -3.4 |
0.00034 |
0.00032 |
0.00031 |
0.00030 |
0.00029 |
0.00028 |
0.00027 |
0.00026 |
0.00025 |
0.00024 |
| -3.5 |
0.00023 |
0.00022 |
0.00022 |
0.00021 |
0.00020 |
0.00019 |
0.00019 |
0.00018 |
0.00017 |
0.00017 |
| -3.6 |
0.00016 |
0.00015 |
0.00015 |
0.00014 |
0.00014 |
0.00013 |
0.00013 |
0.00012 |
0.00012 |
0.00011 |
| -3.7 |
0.00011 |
0.00010 |
0.00010 |
0.00010 |
0.00009 |
0.00009 |
0.00008 |
0.00008 |
0.00008 |
0.00008 |
| -3.8 |
0.00007 |
0.00007 |
0.00007 |
0.00006 |
0.00006 |
0.00006 |
0.00006 |
0.00005 |
0.00005 |
0.00005 |
| -3.9 |
0.00005 |
0.00005 |
0.00004 |
0.00004 |
0.00004 |
0.00004 |
0.00004 |
0.00004 |
0.00003 |
0.00003 |
| -4 |
0.00003 |
0.00003 |
0.00003 |
0.00003 |
0.00003 |
0.00003 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
| -4.1 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00002 |
0.00001 |
0.00001 |
| -4.2 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
| -4.3 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00001 |
| -4.4 |
0.00001 |
0.00001 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -4.5 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -4.6 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -4.7 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -4.8 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -4.9 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| -5 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
0.00000 |
| 0 |
0.50000 |
0.50399 |
0.50798 |
0.51197 |
0.51595 |
0.51994 |
0.52392 |
0.52790 |
0.53188 |
0.53586 |
| 0.1 |
0.53983 |
0.54380 |
0.54776 |
0.55172 |
0.55567 |
0.55962 |
0.56356 |
0.56749 |
0.57142 |
0.57535 |
| 0.2 |
0.57926 |
0.58317 |
0.58706 |
0.59095 |
0.59483 |
0.59871 |
0.60257 |
0.60642 |
0.61026 |
0.61409 |
| 0.3 |
0.61791 |
0.62172 |
0.62552 |
0.62930 |
0.63307 |
0.63683 |
0.64058 |
0.64431 |
0.64803 |
0.65173 |
| 0.4 |
0.65542 |
0.65910 |
0.66276 |
0.66640 |
0.67003 |
0.67364 |
0.67724 |
0.68082 |
0.68439 |
0.68793 |
| 0.5 |
0.69146 |
0.69497 |
0.69847 |
0.70194 |
0.70540 |
0.70884 |
0.71226 |
0.71566 |
0.71904 |
0.72240 |
| 0.6 |
0.72575 |
0.72907 |
0.73237 |
0.73565 |
0.73891 |
0.74215 |
0.74537 |
0.74857 |
0.75175 |
0.75490 |
| 0.7 |
0.75804 |
0.76115 |
0.76424 |
0.76730 |
0.77035 |
0.77337 |
0.77637 |
0.77935 |
0.78230 |
0.78524 |
| 0.8 |
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