Statistik I — Standardnormalverteilung

Übungsaufgaben zur z‑Verteilung (mit Lösungen in R)

Author
Affiliation

Prof. Dr. Armin Eichinger

TH Deggendorf

Published

03.11.2025

Hinweise zur Bearbeitung

  • Bearbeiten Sie die Aufgaben zuerst mit Stift und Papier (eine Tabelle der z-Werte finden Sie auf iLearn).
  • Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit Hilfe von R.
  • Verwenden Sie für Wahrscheinlichkeiten der (Standard‑)Normalverteilung pnorm(), für Quantile qnorm().
  • z‑Werte lassen sich mit scale(x) (zentriert/standardisiert) oder manuell via (x - mean(x))/sd(x) berechnen.
  • Für Bereiche wie \(P(a \le X \le b)\) gilt: pnorm(b, mu, sigma) - pnorm(a, mu, sigma).

1 Aufgabe — Kennwerte & z‑Transformation

Gegeben: 13; 28; 26; 19; 15; 16.

Berechnen Sie:

  1. Median, Mittelwert, Varianz, SD.
  2. z‑Werte.
  3. Kennwerte der z‑Werte

1.1 Lösung (R)

x <- c(13, 28, 26, 19, 15, 16)

# (a) Kennwerte
median_x <- median(x)
mean_x   <- mean(x)
var_x    <- var(x)         # Stichprobenvarianz
sd_x     <- sd(x)

list(Median=median_x, Mittelwert=mean_x, Varianz=var_x, SD=sd_x)
$Median
[1] 17.5

$Mittelwert
[1] 19.5

$Varianz
[1] 37.9

$SD
[1] 6.156298
# (b) z-Werte (manuell & mit scale)
z_man <- (x - mean_x) / sd_x
z_sc  <- as.numeric(scale(x))

z_man
[1] -1.05582940  1.38069999  1.05582940 -0.08121765 -0.73095882 -0.56852352
z_sc
[1] -1.05582940  1.38069999  1.05582940 -0.08121765 -0.73095882 -0.56852352
# (c) Kennwerte der z‑Werte
list(Median_z = median(z_man), Mittelwert_z = mean(z_man), Varianz_z = var(z_man), SD_z = sd(z_man))
$Median_z
[1] -0.3248706

$Mittelwert_z
[1] -4.607859e-18

$Varianz_z
[1] 1

$SD_z
[1] 1

2 Aufgabe — Parameter der Normalverteilung

Frage: Welche Merkmale beschreiben eine Normalverteilung vollständig?

2.1 Lösung (kurz)

  • Erwartungswert/Mittelwert \(\mu\) bzw. \(\bar{x}\) und Standardabweichung \(\sigma\) (bzw. Varianz \(\sigma^2\)).

3 Aufgabe — Anteil innerhalb \(\pm 1{,}5\,\sigma\)

Frage: Wie viel Prozent der Werte liegen in \(\mu \pm 1{,}5\,\sigma\)?

3.1 Lösung (R)

p <- pnorm(1.5) - pnorm(-1.5)
p
[1] 0.8663856
p*100  # Prozent
[1] 86.63856

4 Aufgabe — IQ‑Grenze Top 1  %

Normalverteilung: \(\mu=100\), \(\sigma=15\). Gesucht: Punktegrenze der obersten 10 %.

4.1 Lösung (R)

mu <- 100; sigma <- 15
# Top 10% => 90%-Quantil
cut <- qnorm(0.90, mean=mu, sd=sigma)
cut
[1] 119.2233

5 Aufgabe — Symmetrischer 80 %-Bereich (Standardnormalverteilung)

Frage: Zwischen welchen z‑Werten liegen 80 % symmetrisch um 0?

5.1 Lösung (R)

# 80% gesamt -> 10% in jedem Außenbereich => z_{0.90}
z <- qnorm(0.90)
c(-z, z)
[1] -1.281552  1.281552

6 Aufgabe — Äquivalenz zweier Tests

Test A: \(\mu_A=20\), \(\sigma_A^2=25\Rightarrow\sigma_A=5\); beobachtet: 12.
Welcher Wert entspräche demselben z‑Wert in Test B mit \(\mu_B=0\), \(\sigma_B^2=100\Rightarrow\sigma_B=10\)?

6.1 Lösung (R)

muA <- 20; sdA <- 5; xA <- 12
muB <- 0;  sdB <- 10

z  <- (xA - muA)/sdA
xB <- muB + z*sdB
z
[1] -1.6
xB
[1] -16

7 Aufgabe — Zulassungstest \((\mu=600,\ \sigma^2=2500\Rightarrow\sigma=50)\)

  1. \(P(X>700)\)
  2. \(P(X<500)\)
  3. \(P(500\le X\le 600)\)
  4. Schwelle der besten 10 % \(\Rightarrow\) 90%-Quantil.

7.1 Lösung (R)

mu <- 600; sd <- 50

# (a)
pa <- 1 - pnorm(700, mu, sd)

# (b)
pb <- pnorm(500, mu, sd)

# (c)
pc <- pnorm(600, mu, sd) - pnorm(500, mu, sd)

# (d) 90%-Quantil
qd <- qnorm(0.90, mu, sd)

list(a=pa, b=pb, c=pc, d=qd)
$a
[1] 0.02275013

$b
[1] 0.02275013

$c
[1] 0.4772499

$d
[1] 664.0776

8 Aufgabe — Körpergröße Männer \((\mu=180\,\text{cm},\ \sigma=8\,\text{cm})\)

  1. Anteil größer als 213 cm.
  2. Anteil zwischen 180 und 190 cm.
  3. Symmetrischer Bereich für die mittleren 50 %.

8.1 Lösung (R)

mu <- 180; sd <- 8

# (a)
pa <- 1 - pnorm(213, mu, sd)

# (b)
pb <- pnorm(190, mu, sd) - pnorm(180, mu, sd)

# (c) mittlere 50% => 25%- bis 75%-Quantil (IQR)
q25 <- qnorm(0.25, mu, sd)
q75 <- qnorm(0.75, mu, sd)

list(a=pa, b=pb, c=c(q25, q75))
$a
[1] 1.853674e-05

$b
[1] 0.3943502

$c
[1] 174.6041 185.3959

9 Aufgabe — Notenvergleich Hessen vs. Bayern

Hessen: \(\mu=2{,}5\), \(\sigma=0{,}5\), Note 1,6.
Bayern: \(\mu=1{,}7\), \(\sigma=0{,}3\), Note 1,1.
Wer ist relativ zur jeweiligen Referenz besser? (kleinere Note = besser)

9.1 Lösung (R)

z_hessen <- (1.6 - 2.5)/0.5   # negativer z-Wert => besser als MW
z_bayern <- (1.1 - 1.7)/0.3

z_hessen; z_bayern
[1] -1.8
[1] -2
# Vergleich per Perzentil (kleiner -> besser)
p_hessen <- pnorm(1.6, mean=2.5, sd=0.5)   # Anteil <= 1.6
p_bayern <- pnorm(1.1, mean=1.7, sd=0.3)

list(z=c(Hessen=z_hessen, Bayern=z_bayern),
     Perzentil=c(Hessen=p_hessen, Bayern=p_bayern))
$z
Hessen Bayern 
  -1.8   -2.0 

$Perzentil
    Hessen     Bayern 
0.03593032 0.02275013

Interpretation: Der kleinere z‑Wert (stärker negativ) zeigt die relativ bessere Position.

10 Aufgabe — „So groß wie intelligent“

IQ: \(\mu=100\), \(\sigma=15\), \(x=132\).
Körpergröße (US‑Frauen): \(\mu=165\,\text{cm}\), \(\sigma=10\,\text{cm}\).
Gesucht: Größe mit demselben z‑Wert.

10.1 Lösung (R)

z_iq <- (132 - 100)/15
size <- 165 + z_iq*10
z_iq; size
[1] 2.133333
[1] 186.3333

11 Aufgabe — Online‑Bestellvorgang

Alte Seite: \(\mu=10\,\text{s}\), \(\sigma=2\,\text{s}\).
Neue Seite: Stichprobe \(n=100\), \(\bar x=8\,\text{s}\), \(s=2\,\text{s}\).
(a) \(P(X\le 8)\) unter alter Seite.
(b) 95%-KI für \(\mu\) mit neuer Seite.
(c) Welcher \(\bar x\) läge so, dass \(\mu_0=10\) gerade am Rand des 95%-KI liegt?

11.1 Lösung (R)

# (a) Einzelvorgang unter alter Seite (Normalverteilung)
pa <- pnorm(8, mean=10, sd=2)

# (b) 95%-KI für den Mittelwert (n groß -> z-KI)
xbar <- 8; s <- 2; n <- 100
se   <- s/sqrt(n)
z    <- qnorm(0.975)
KI   <- c(xbar - z*se, xbar + z*se)

# (c) Randbedingung: 10 = xbar ± z*se  =>  xbar = 10 ∓ z*se
xbar_left  <- 10 + z*se  # damit 10 am linken Rand liegt
xbar_right <- 10 - z*se  # ... bzw. am rechten Rand

list(a=pa, b=KI, c=c(xbar_left=xbar_left, xbar_right=xbar_right))
$a
[1] 0.1586553

$b
[1] 7.608007 8.391993

$c
 xbar_left xbar_right 
 10.391993   9.608007

SNV

Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

-.00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 -.06 -.07 -.08 -.09
0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414
-0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465
-0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591
-0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827
-0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207
-0.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760
-0.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510
-0.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476
-0.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673
-0.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109
-1 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786
-1.1 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702
-1.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853
-1.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226
-1.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811
-1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592
-1.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551
-1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673
-1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938
-1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330
-2 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831
-2.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426
-2.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101
-2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842
-2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639
-2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480
-2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357
-2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264
-2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193
-2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139
-3 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100
-3.1 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071
-3.2 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.00050
-3.3 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.00042 0.00040 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035
-3.4 0.00034 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028 0.00027 0.00026 0.00025 0.00024
-3.5 0.00023 0.00022 0.00022 0.00021 0.00020 0.00019 0.00019 0.00018 0.00017 0.00017
-3.6 0.00016 0.00015 0.00015 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011
-3.7 0.00011 0.00010 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008
-3.8 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005
-3.9 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003
-4 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002
-4.1 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001
-4.2 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001
-4.3 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001
-4.4 0.00001 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.5 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.6 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.7 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.8 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.9 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-5 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586
0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189
1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408
1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449
1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327
1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062
1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670
2 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.98169
2.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.98574
2.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.98899
2.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.99158
2.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.99361
2.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99520
2.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.99643
2.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.99736
2.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.99807
2.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.99861
3 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.99900
3.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.99929
3.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99950
3.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.99965
3.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.99976
3.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.99983
3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989
3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992
3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995
3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997
4 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998
4.1 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99999 0.99999
4.2 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999
4.3 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999
4.4 0.99999 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.6 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.7 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.8 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.9 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000